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2025-05-23 17:48:59|已浏览：18次
顺德新初一寒假班。! 佛山中小学辅导，佛山小学补习班，佛山初中辅导班，佛山高中生辅导，佛山学大教育一对一经典语录：别再用我的过去来评价我了，我早就不是以前那个我了。。
顺德新初一寒假班。! 佛山中小学辅导，佛山小学补习班，佛山初中辅导班，佛山高中生辅导，佛山学大教育一对一经典语录：不要什么都学别人，很容易迷失自己的。。
数的整除特性探究方法
一、从定义出发探究
明确整除的定义
对于两个整数
?
a、
?
(
?
≠
0
)
d(d
=0)，若存在一个整数
?
p，使得
?
=
?
?
a=pd成立，则称
?
d整除
?
a，或
?
a被
?
d整除，记作
?
∣
?
d∣a。这是探究数的整除特性的基础定义。通过这个定义，可以进一步推导出数的整除相关性质和判定方法等。例如，当判断一个数是否能被另一个数整除时，可以看是否能找到满足定义中的
?
p值。
探究整除的性质
性质1：若
?
∣
?
b∣a，则
?
∣
(
?
?
)
b∣(?a)，且对任意的非零整数
?
m有
?
?
∣
?
?
bm∣am。例如，如果
3
∣
6
3∣6，那么
3
∣
(
?
6
)
3∣(?6)，并且对于
?
=
2
m=2，
3
×
2
∣
6
×
2
3×2∣6×2即
6
∣
12
6∣12。
性质2：若
?
∣
?
a∣b，
?
∣
?
b∣a，则
∣
?
∣
=
∣
?
∣
∣a∣=∣b∣。比如
2
∣
?
2
2∣?2且
?
2
∣
2
?2∣2，那么
∣
2
∣
=
∣
?
2
∣
=
2
∣2∣=∣?2∣=2。
性质3：若
?
∣
?
b∣a，
?
∣
?
c∣b，则
?
∣
?
c∣a。假设
3
∣
6
3∣6，
1
∣
3
1∣3，那么
1
∣
6
1∣6。
性质4：若
?
∣
?
?
b∣ac，而
(
?
,
?
)
=
1
(a,b)=1（
(
?
,
?
)
=
1
(a,b)=1表示
?
a、
?
b互质），则
?
∣
?
b∣c。例如
2
∣
3
×
4
2∣3×4，因为
2
2与
3
3互质，所以
2
∣
4
2∣4。
性质5：若
?
∣
?
?
b∣ac，而
?
b为质数，则
?
∣
?
b∣a，或
?
∣
?
b∣c。比如
3
∣
6
×
5
3∣6×5，
3
3是质数，所以
3
∣
6
3∣6或者
3
∣
5
3∣5。
性质6：若
?
∣
?
c∣a，
?
∣
?
c∣b，则
?
∣
(
?
?
+
?
?
)
c∣(ma+nb)，其中
?
m、
?
n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）。例如
2
∣
4
2∣4，
2
∣
6
2∣6，那么对于
?
=
1
m=1，
?
=
1
n=1，
2
∣
(
1
×
4
+
1
×
6
)
=
2
∣
10
2∣(1×4+1×6)=2∣10。
二、按数字规律探究
2、5的整除特性
一个整数的末尾一位数能被
2
2或
5
5整除，则这个数就能被
2
2或
5
5整除。例如
12
12的末位数字
2
2能被
2
2整除，所以
12
12能被
2
2整除；
15
15的末位数字
5
5能被
5
5整除，所以
15
15能被
5
5整除。
4、25的整除特性
一个整数的末尾两位数能被
4
4或
25
25整除，则这个数就能被
4
4或
25
25整除。比如
124
124，末两位
24
=
4
×
6
24=4×6，能被
4
4整除，所以
124
124能被
4
4整除；
175
175，末两位
75
=
25
×
3
75=25×3，能被
25
25整除，所以
175
175能被
25
25整除。
8、125的整除特性
一个整数的末尾三位数能被
8
8或
125
125整除，则这个数就能被
8
8或
125
125整除。例如
1128
1128，末三位
128
=
8
×
16
128=8×16，能被
8
8整除，所以
1128
1128能被
8
8整除；
1125
1125，末三位
125
=
125
×
1
125=125×1，能被
125
125整除，所以
1125
1125能被
125
125整除。
3、9的整除特性
能被
9
9和
3
3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被
9
9或
3
3整除，则这个数能被
9
9或
3
3整除。比如
123
123各位数字之和
1
+
2
+
3
=
6
1+2+3=6，
6
6能被
3
3整除，所以
123
123能被
3
3整除；
189
189各位数字之和
1
+
8
+
9
=
18
1+8+9=18，
18
18能被
9
9整除，所以
189
189能被
9
9整除。
7、11、13的整除特性
一个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被
7
7，
11
11或
13
13整除，则这个数字就能被
7
7、
11
11、
13
13整除。例如
123123
123123，末三位
123
123，末三位以前的数字组成的数是
123
123，它们的差
123
?
123
=
0
123?123=0，
0
0能被
7
7、
11
11、
13
13整除，所以
123123
123123能被
7
7、
11
11、
13
13整除。
11的整除特性（另一种）
一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差〔大减小〕能被
11
11整除。例如
1331
1331，奇数位数字和
1
+
3
=
4
1+3=4，偶数位数字和
3
+
1
=
4
3+1=4，它们的差
4
?
4
=
0
4?4=0，能被
11
11整除，所以
1331
1331能被
11
11整除。
三、通过实例探究
在数学运算中的探究
在解决数学运算问题时，可以根据数的整除特性来简化计算或者判断答案的合理性。例如在数量关系题目中，如果已知条件涉及到一些特殊数字，就可以利用这些数字的整除特性快速解题。如在计算参赛总人数时，如果东区参赛人数占总人数的
1
5
5
1
?
，东区参赛人数的
1
3
3
1
?
获奖，那么总人数要能够被
3
3、
5
5整除。根据数的整除判定，在给定的范围（超过
100
100人，不到
200
200人）内找出符合条件的数。通过这种实例，可以探究数的整除特性在实际运算中的应用方式和价值。
在数字组合中的探究
对于一些需要组成满足整除条件的数字的问题，也可以探究数的整除特性。比如从
0
0，
4
4，
9
9，
5
5这四个数中任选三个排列成能同时被
2
2，
5
5整除的三位数，就需要根据能被
2
2和
5
5整除的数的末尾数字特征（末尾数字是
0
0）来进行组合数字的探究，从而找出符合要求的数字组合，进一步深入理解数的整除特性在数字组合方面的体现。 佛山中小学辅导，佛山小学补习班，佛山初中辅导班，佛山高中生辅导，佛山学大教育一对一经典语录：有些话，适合烂在心里，有些痛苦，适合无声无息的忘记。当经历过，你成长了，自己知道就好。很多改变，不需要你自己说，别人会看得到。顺德新初一寒假班。!。
顺德新初一寒假班。!适合一年级的数学逻辑游戏
一、数字类游戏
数字接龙
游戏规则：一个人先说一个1 - 10之间的数字，然后下一个人说的数字要比前一个数字大1或者小1。例如，第一个人说3，第二个人就可以说2或者4。这个游戏可以锻炼孩子对数字顺序的理解以及简单的加减法运算能力。
猜数字
准备：在1 - 10之间想好一个数字。
游戏规则：让孩子猜这个数字，孩子每猜一次，根据孩子猜的数字告诉孩子是猜大了还是猜小了，直到孩子猜出正确的数字。这有助于培养孩子的数字大小比较和逻辑推理能力。
二、图形类游戏
摸几何图形
游戏目的：训练学生用触摸的方法对看不见的几何图形进行分类，巩固他们对几何图形的特征辨认。
游戏材料：三角形、圆形、正方形、长方形的硬纸片若干，一个纸盒，一块大手帕。把各种几何图形放进纸盒，用手帕盖住，让孩子伸手进去摸出指定的图形，比如“摸出一个圆形”等。
图形拼图游戏
准备一些简单的图形拼图，如由三角形、正方形等组成的小动物或小房子形状的拼图。
游戏规则：让孩子将拼图碎片拼成完整的图形，可以锻炼孩子对图形形状、空间关系的认知和逻辑思维能力。
三、生活场景类游戏
购物游戏
准备一些自制的纸币（写上1元、5元等面额）和一些标有价格（1 - 10元）的小物品（如小玩具、文具等）。
游戏规则：孩子扮演顾客，家长扮演售货员。孩子拿着一定金额的“钱”去购买物品，要计算出应该找回多少钱或者钱够不够买想要的物品，这可以提高孩子的加减法运算和逻辑判断能力。
分水果游戏
准备一些水果模型（如苹果、香蕉等）或者图片。
游戏规则：例如有5个苹果，要分给2个小朋友，可以有多种分法，让孩子尝试不同的分法，然后用数字表示出来，像一个小朋友1个苹果，另一个小朋友4个苹果；或者一个小朋友2个苹果，另一个小朋友3个苹果等，这有助于孩子对数字分配和加减法的理解。 佛山中小学辅导，佛山小学补习班，佛山初中辅导班，佛山高中生辅导，佛山学大教育一对一经典语录：生命从来不是公平的，得到多少，便要靠那个多少做到最好，努力的生活下去。。
佛山中小学辅导，佛山小学补习班，佛山初中辅导班，佛山高中生辅导，佛山学大教育一对一经典语录：成长是一段稚心的疼痛，不计后果的那段，叫做青春。顺德新初一寒假班。!四年级数学竞赛题目示例
一、填空类题目示例
（一）数字规律类
观测下面每列数的排列规律，在括号里填上合适的数。
（1）、1，1998，3，2023，5，2023，(7)，(2024)。（分析：奇数项是1、3、5……依次增加2；偶数项是1998、2023、2023……有一定的增长趋势，这里可推测为依次增加一定数值，所以后面括号依次为7和2024）
（2）、(1)，4，9，16，25，…………. (400)第20个数。（分析：这组数字是平方数序列，第
?
n个数就是
?
2
n
2
，第20个数就是
2
0
2
=
400
20
2
=400）
3998是4个连续自然数的和，其中最小的数是(998)。（设最小的数为
?
x，则四个连续自然数为
?
x，
?
+
1
x+1，
?
+
2
x+2，
?
+
3
x+3，它们的和为
4
?
+
6
=
3998
4x+6=3998，解得
?
=
998
x=998）
（二）数的读写与运算类
一个数，它的千万位和万位上都是9，十万位上是5，其他各个数位上都是0，这个数写作〔90590000〕读作〔九千零五十九万〕，它是一个〔八〕位，最高位是〔千万〕位，四舍五入到亿位约等于〔1亿〕
84x390的积是五位数
5小时15分=(5.25)小时（因为15分=
15
÷
60
=
0.25
15÷60=0.25小时，所以5小时15分=
5
+
0.25
=
5.25
5+0.25=5.25小时）
8吨63千克=(8.063)吨（因为63千克=
63
÷
1000
=
0.063
63÷1000=0.063吨，所以8吨63千克=
8
+
0.063
=
8.063
8+0.063=8.063吨）
把28.45扩大100倍，再缩小1000倍，得数是(2.845)（
28.45
×
100
÷
1000
=
2.845
28.45×100÷1000=2.845）
（三）时间计算类
肯德基餐厅每天上午9:00开始营业，晚上11:30停止营业，全天营业时间是(14)时(30)分。（晚上11:30即23:30，
23
:
30
?
9
:
00
=
14
23:30?9:00=14小时30分）
二、选择类题目示例
15:00时，分针与时针形成较小的夹角是(③直角)。（15:00时，时针指向3，分针指向12，分针与时针间是90度角，为直角）
计算9000÷4000时，余数是(③100)。（
9000
÷
4000
=
2
?
?
1000
9000÷4000=2??1000）
下面哪个角不能用一副三角板画出(③80°)。（一副三角板能画出的角是15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°等特殊角，80°不在其中）
要使□7万，□里不能填(①5)（如果填5则是向前进一位变成8万了）
下列四个数中，最接近8万的是(②79989)（分别计算各数与8万的差值，
80000
?
79989
=
11
80000?79989=11，
80101
?
80000
=
101
80101?80000=101，
79899
?
80000
=
?
101
79899?80000=?101，
7994
?
80000
=
?
72006
7994?80000=?72006，差值最小的是79989）
三、计算类题目示例
（一）口算
200
×
9
=
1800
200×9=1800
10
?
0.8
=
9.2
10?0.8=9.2
480
÷
80
=
6
480÷80=6
30
×
70
=
2100
30×70=2100
1604
÷
4
=
401
1604÷4=401
25
×
32
=
800
25×32=800（
25
×
32
=
25
×
4
×
8
=
100
×
8
=
800
25×32=25×4×8=100×8=800）
570
+
19
=
589
570+19=589
800
÷
25
=
32
800÷25=32
750
?
99
=
651
750?99=651（
750
?
100
+
1
=
651
750?100+1=651）
600
÷
20
=
30
600÷20=30
23
×
11
=
253
23×11=253（
23
×
11
=
23
×
(
10
+
1
)
=
230
+
23
=
253
23×11=23×(10+1)=230+23=253）
460
?
40
=
420
460?40=420
125
×
80
=
10000
125×80=10000
25.8
+
74.2
=
100
25.8+74.2=100
4200
÷
600
=
7
4200÷600=7
97
×
101
=
9797
97×101=9797（
97
×
101
=
97
×
(
100
+
1
)
=
9700
+
97
=
9797
97×101=97×(100+1)=9700+97=9797）
（二）竖式计算
46
×
589
=
27094
46×589=27094
730
÷
69
730÷69（商是10余40），并要进行竖式验算
（三）脱式计算
75
×
299
+
75
75×299+75
=
75
×
(
299
+
1
)
=75×(299+1)
=
75
×
300
=
22500
=75×300=22500
(
105
×
12
?
635
)
÷
25
(105×12?635)÷25
=
(
1260
?
635
)
÷
25
=(1260?635)÷25
=
625
÷
25
=
25
=625÷25=25
129
+
235
+
171
+
165
129+235+171+165
=
(
129
+
171
)
+
(
235
+
165
)
=(129+171)+(235+165)
=
300
+
400
=
700
=300+400=700
(
125
+
17
)
×
8
(125+17)×8
=
125
×
8
+
17
×
8
=125×8+17×8
=
1000
+
136
=
1136
=1000+136=1136
27
×
45
+
55
×
27
27×45+55×27
=
27
×
(
45
+
55
)
=27×(45+55)
=
27
×
100
=
2700
=27×100=2700
360
÷
[
(
12
+
6
)
×
5
]
360÷[(12+6)×5]
=
360
÷
(
18
×
5
)
=360÷(18×5)
=
360
÷
90
=
4
=360÷90=4
四、解决问题类题目示例
小A12分钟打960个字，小B18分钟打1170个字，谁打字速度快？
小A的打字速度：
960
÷
12
=
80
960÷12=80（字/分钟）
小B的打字速度：
1170
÷
18
=
65
1170÷18=65（字/分钟）
因为
80
>
65
80>65，所以小A打字速度快
一辆长途客车3小时行174千米。照这样的速度，它12小时可以行多少千米？
首先计算客车速度：
174
÷
3
=
58
174÷3=58（千米/小时）
那么12小时行驶的路程为：
58
×
12
=
696
58×12=696（千米）
体育老师买了3个排球和5个篮球，共用了345元，每个排球40元，每个篮球多少元？
3个排球的费用：
3
×
40
=
120
3×40=120（元）
5个篮球的费用：
345
?
120
=
225
345?120=225（元）
每个篮球的价格：
225
÷
5
=
45
225÷5=45（元）
在一条长200米公路的两侧栽树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵树？
先计算一侧栽树的数量：
(
200
÷
5
+
1
)
=
41
(200÷5+1)=41（棵）
两侧栽树的数量：
41
×
2
=
82
41×2=82（棵）
海沧野生动物园的狮子一天要吃35千克的食物，十月份一个月要吃多少千克食物？
十月份有31天，所以狮子十月份吃的食物量为：
35
×
31
=
1085
35×31=1085（千克）。 佛山中小学辅导，佛山小学补习班，佛山初中辅导班，佛山高中生辅导，佛山学大教育一对一经典语录：做该做的事，爱该爱的人，能应对惊涛拍岸的雄壮，也能安于细水长流的温情。顺德新初一寒假班。!.
顺德新初一寒假班。!
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一、基础乘法进位练习题
简单的一位小数乘法进位
1.5
×
3.2
=
1.5×3.2=
先按照整数乘法计算：
15
×
32
=
480
15×32=480。
因数中一共有两位小数，从积的右边起数出两位点上小数点，结果是
4.80
4.80，这里的
0
0可以省略，所以最终结果是
4.8
4.8。
多位小数乘法进位
2.34
×
1.56
=
2.34×1.56=
计算整数乘法：
234
×
156
=
36504
234×156=36504。
因数共有四位小数，从积的右边起数出四位点上小数点，得到
3.6504
3.6504。
二、含有整数部分进位的小数乘法练习题
整数部分进位且小数部分也进位
3.8
×
4.7
=
3.8×4.7=
先算整数部分：
3
×
4
=
12
3×4=12。
再算小数部分：
0.8
×
0.7
=
0.56
0.8×0.7=0.56，
0.8
×
4
+
0.7
×
3
=
3.2
+
2.1
=
5.3
0.8×4+0.7×3=3.2+2.1=5.3。
最后结果为
12
+
5.3
+
0.56
=
17.86
12+5.3+0.56=17.86。
整数部分较大数的乘法进位
9.5
×
7.8
=
9.5×7.8=
整数乘法：
9
×
7
=
63
9×7=63。
小数乘法：
0.5
×
0.8
=
0.4
0.5×0.8=0.4，
0.5
×
7
+
0.8
×
9
=
3.5
+
7.2
=
10.7
0.5×7+0.8×9=3.5+7.2=10.7。
结果为
63
+
10.7
+
0.4
=
74.1
63+10.7+0.4=74.1。
三、小数乘法进位综合练习题
连乘中的进位
1.2
×
2.5
×
3.6
=
1.2×2.5×3.6=
先算
1.2
×
2.5
=
3
1.2×2.5=3。
再算
3
×
3.6
=
10.8
3×3.6=10.8。
与整数混合运算中的进位
4
×
(
1.5
×
2.3
)
=
4×(1.5×2.3)=
先算括号内：
1.5
×
2.3
=
3.45
1.5×2.3=3.45。
再算
4
×
3.45
=
13.8
4×3.45=13.8。 佛山中小学辅导，佛山小学补习班，佛山初中辅导班，佛山高中生辅导，佛山学大教育一对一经典语录：两个人之间隔着几英尺的暮色的。《了不起的盖茨比》顺德新初一寒假班。!。
